Analysis und Lineare Algebra 04

Willkommen zur Analysis und Lineare Algebra 04 Klausur. Diese Klausur enthält Aufgaben zu:

Integralrechnung
Differentialrechnung
Grenzwerte und Stetigkeit
Konvergenz von Folgen und Reihen

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1. Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2$

2. Untersuche die Funktion $f(x) = \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1}$ auf Stetigkeit an der Stelle $x = 1$

3. Berechne das bestimmte Integral $\int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 1) dx$.

4. Zeige, dass die Funktion $f(x) = x^2 + x + 1$ auf dem Intervall $[0, \infty)$ nach oben beschränkt ist.

5. Bestimme alle kritischen Punkte der Funktion $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2$ und untersuche sie auf Extremstellen.

6. Bestimme die Lösungen der Gleichung $e^x - 4x = 0$.

7. Bestimme die Taylorreihe der Funktion $f(x) = \ln(1+x)$ um den Entwicklungspunkt $x=0$.

8. Berechne das unbestimmte Integral $\int \frac{2x-1}{(x-2)(x+3)} dx$.

9. Berechne das bestimmte Integral $\int_0^1 \frac{\ln(x+1)}{x^2+1} dx$.

10. Gegeben sei die Funktion $f(x) = \sqrt{x^2+1} - x$. Zeige, dass $f(x)$ auf $[0,\infty)$ monoton fallend ist.

11. Gegeben sei die Funktion $f(x) = \sin(x)$. Bestimme die erste positive Nullstelle von $f(x)$ auf $[0,\pi]$ mit dem Newton-Verfahren und starte dabei mit $x_0 = \pi/4$.

12. Gegeben sei die Funktion $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2$. Bestimme alle Wendepunkte von $f(x)$ und zeige, dass $f(x)$ auf $(-\infty, 3]$ konkav und auf $[3,\infty)$ konvex ist.